Question

已知三角形ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE//AB交AC于D,交BC于E.

已知三角形ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE//AB交AC于D,交BC于E. (1)当三角形DEC的面积与四边形DABE的面积相等时求与四边形DABECD的长. (2)当三角形DEC的周长与四边形DABE的周长相等时,求CD的长. (3)试问是否纯在一点,使三角形PDE为等腰直角三角形若不存在请说明,若存在,求出DE的长

Answer 1

解:已知三角形ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,DE//AB交AC于D,交BC于E.
很明显由勾股定理5^2=4^2+3^2得知角C为直角，那求面积就方便多了。三角形ABC面积=AC*BC/2=4*3/2=6
(1)(2)按比例DE/CD/CE=5/4/3方法就容易解答了。
答案(1)DABED=12-√2
三角形DEC的面积与四边形DABE的面积相等，
有三角形DEC的面积为总面积的一半，即
CD*CE/2=3有CD*CE=6
其中CD=0.8DE,CE=0.6DE代入CD*CE=6
解出DE=2.5√2，则CD=2√2,CE=1.5√2
四边形长DABED
=AD+AB+BE+DE=AC-CD+AB+BC-CE+DE=4-2√2+5+3-1.5√2+2.5√2=12-√2
答案(2)CD=24/7
按三角形DEC的周长与四边形DABE的周长相等条件，有
CD+DE+CE=AD+AB+BE+DE=AC-CD+AB+BC-CE+DE
其中CE=0.75CD,即CD+0.75CD=4-CD+5+3-0.75CD
解出CD=24/7
(3)试问是否纯在一点,使三角形PDE为等腰直角三角形若不存在请说明,若存在,求出DE的长
存在。P点在DE线的下方就可使三角形PDE为等腰直角三角形。如果要求等腰直角三角形PDE的面积最大，并且P点不超出三角形ABC之外，此时P点落在AB直线上，这时DE长为120/49
具体解法参考下图:
三角形ABC中由面积相等,求出高度CG=AC*BC/AB=2.4
由比例关系有DE/CF=5/2.4,即CF=0.48DE
PDE为等腰直角三角形,有PH=DE/2=0.5DE
高度相同有CG=CF+PH=0.48DE+0.5DE=0.98DE=2.4(高度值)
解出DE=120/49