Question

对于任意实数a,b,定义:F(a,b)=1/2(a+b-|a-b|),如果函数f(x)=x平方

对于任意实数a,b,定义:F(a,b)=1/2(a+b-|a-b|),如果函数f(x)=x平方，g(x)=5/2x+3/2,h(x)=-x+2.那么函数G(x)=F(F(f(x),g(x)),h(x))的最大值等于_____。

Answer 1

当
f(x)>g(x)，即
x²-(5/2)x-(3/2)>0，相应
x<-1/2，或
x>3，则
F[f(x),g(x)]=g(x)=(5/2)x+(3/2);
当
F[f(x),g(x)]>h(x)，即
(5/2)x+(3/2)>2-x，相应
x>1/7，考虑前述限制则须
x>3;
则
F{F[f(x),g(x)],h(x)}=h(x)=2-x
<
2-3=-1;
当
F[f(x),g(x)]≤h(x)，即
(5/2)x+(3/2)+2-x≤0，相应
x≤1/7，考虑前述限制则须
x<-1/2;
则
F{F[f(x),g(x)],h(x)}=F[f(x),g(x)]=(5/2)x+(3/2)
<
(5/2)*(-1/2)+(3/2)=1/4;
当
f(x)≤g(x)，相应
-1/2≤x≤3，则
F[f(x),g(x)]=f(x)=x²;
当
F[f(x),g(x)]>h(x)，即
x²>2-x，相应
x<-2、或
x>1，考虑前述限制则须
1<x≤3;
则
F{F[f(x),g(x)],h(x)}=h(x)=2-x<2-1=1;
当
F[f(x),h(x)]≤h(x)，相应
-2≤x≤1，考虑前述限制则须
-1/2≤x≤1;
则
F{F[f(x),g(x)],h(x)}=F[f(x),g(x)]=x²≤1²=1;
综上，所求函数的最大值是
1;