Question

已知α，β∈（0，π2），且sin（α+2β）=75sinα．（1）求证：tan...

已知α，β∈（0，π2），且sin（α+2β）=75sinα． （1）求证：tan（α+β）=6tanβ； （2）若tanα=3tanβ，求α的值．

Answer 1

（1）证明：∵sin（α+2β）=75sinα，
∴sin[（α+β）+β]=75sin[（α+β）-β]，
∴埋陵sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=75[sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ]，
∴sin（α+β）cosβ=6cos（α+β）sinβ①李辩
∵α，β∈（0，π2），
∴α+β∈（0，π），
若cos（α+β）=0，则由①知sin（α+β）=0与α+β∈（0，π）矛盾，
∴cos（α+β）≠0，
∴①两边同除以6cos（α+β）哪液缺cosβ得：tan（α+β）=6tanβ；
（2）由（1）得tan（α+β）=6tanβ，即tanα+tanβ1-tanαtanβ=6tanβ，
∴tanα=3tanβ，
∴tanβ=13tanα，
∴43tanα1-13tan2α2tanα，
∵α∈（0，π2），
∴tanα=1，
∴α=π4．