Question

已知函数f（x）=x（x2-ax-3）．（Ⅰ）若x=-13是f(x)的极值点，求...

已知函数f（x）=x（x2-ax-3）． （Ⅰ）若x=-13是f(x)的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值； （Ⅱ）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x（x2-ax-3），x∈R，
∴f′（x）=3x2-2ax-3．…（2分）
∵x=-13是f(x)的极值点，∴f′(-13)=13+23a-3=0，
解得a=4．
∴f（x）=x3-4x2-3x，令f′（x）=3x2-8x-3，
得x1=-13，x2=3，则当x在[1，4]上变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表：
x
1
（1，3）
3
（3，4）
4
f′ (x)
-
0
+
f（x）
-6
减
-18
增
-12∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
即a≤32（x-1x）在[1，+∞）上恒成立，
∴只需a≤[32（x-1x）]min（x≥1）即可，
而当x≥1，[32（x-1x）]min=32（1-1）=0，
∴a≤0．…（10分）
（Ⅲ）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根．…（11分）
∴x3-4x2-3x-bx=0，
∴x=0是其中一个根，…（12分）
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴△=16+4(3+b)＞0-3-b≠0，
解得b＞-7，且b≠-3．
∴存在满足条件的b值，b的取值范围是（-7，-3）∪（-3，+∞）…12分