Question

已知函数F(X)=2^x-1/2^x+1求f(x)的奇偶性. 具体一些，拜托了

Answer 1

1.普通方法，即用定义做：
f(x)的定义域显然为x∈R
设x1,x2∈R，且x1>x2
则f(x1)-f(x2)
=(2^x1
-1)/(2^x1
+1)
-
(2^x2
-1)/(2^x2
+1)
={[(2^x1
-1)*(2^x2
+1)]
-
[(2^x2
-1)*(2^x1
+1)]}
/
[(2^x1
+1)*(2^x2
+1)]
=2*(2^x1
-
2^x2)
/
[(2^x1
+1)*(2^x2
+1)]
①
函数y=2^x是基本对数函数之一，很容易知其为定义在R上的单调增函数，即，当x1>x2时，有2^x1
>
2^x2
;
且，对于任意的x，都有2^x
>0，故2^x
+1>0
由此可知，①式中，分子分母的各个公因项均大于0，故f(x1)-f(x2)>0
<=>f(x1)>f(x2)
∴f(x)为定义在R上的增函数
2.用导数法：
对f(x)求一次导数：
f'(x)=[(2^x
-1)'*(2^x
+1)
-
(2^x
+1)'*(2^x
-1)]
/
(2^x
+1)^
=[2^x
*
ln2
*(2^x
+1)
-
2^x
*
ln2
*(2^x
-1)]
/
(2^x
+1)^
=2ln2*2^x/(2^x
+1)^
无疑，对于任意x，都有2^x>0,∴(2^x
+1)^>0,ln2>0
∴f'(x)>0
∴f(x)为定义在R上的单调增函数。
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