Question

高数二重积分问题？

例题9，答案是用分割法做，用大的面积减去小的面积，我直接用直角坐标去对y轴投影去做（图三），方法可以吗？算出来和答案不一样

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Answer 1

直接计算

中途换元，

利用奇，偶性简化计算，

方法如下图所示，请作参考，祝学习愉快：

追问

小姐姐牛啊，一重积分做出来的。

追答

采纳不

追问

有人回答过了我采纳完了

Answer 2

你看看是不是积分的上下限颠倒了，毕竟图形在负半轴，很容易弄反。

追问

应该没错吧，对y轴投影积分的上限应该是在下限的右边吧

追答

sjh5551答出来了，本来我想做一遍的，看见要换元太复杂了。

Answer 3

减去小的面积，我直接用直角坐标去对y轴投

追问

不减，直接投，用我图三的式子可以吗

Answer 4

Answer 5

可以啊。
I = ∫<0, 2>y^2 dy ∫<-2, -√(2y-y^2)> dx
= ∫<0, 2>y^2[2-√(2y-y^2)]dy
= 2∫<0, 2>y^2dy - ∫<0, 2>y^2√(2y-y^2)dy
= (2/3)[y^3]<0, 2> - I1 = 16/3 - I1
对于 I1， √(2y-y^2) = √[1-(y-1)^2], 令 y-1 = sint，
则 √[1-(y-1)^2] = cost
I2 = ∫<-π/2, π/2>(1+sint)^2 (cost)^2 dt
= ∫<-π/2, π/2>[1+2sint+(sint)^2](cost)^2 dt
= ∫<0, π/2>[2(cost)^2+2(sint)^2(cost)^2]dt
= ∫<0, π/2>[1+cos2t+(1/2)(sin2t)^2]dt
= ∫<0, π/2>[1+cos2t+1/4+(1/4)cos4t]dt
= [5t/4+(1/2)sin2t+(1/16)sin4t]<0, π/2> = 5π/8
I = 16/3 - 5π/8