Question

f(x)∈c[0,a]

原题：f(x)∈C[0,2a],f(0)=f(2a)证明至少存在一点ξ∈[0,a]使f(ξ)=f(ξ+a)
帮我解释下这个证明过程
“令φ(x)=f(x+a)-f(x),则φ(x)∈C[0,a]”是为什么啊
还有怎么证φ(0)φ(a)≤0啊

Answer 1

令φ(x)=f(x+a)-f(x),则φ(x)∈C[0,a]
这个很简单啊,首先连续函数的和差积商（分母不为0）还是连续函数,那么在[0,a]上,f(x+a)是连续函数,f(x)也是连续函数,那么φ(x)当然也是连续函数了啊
证明φ(0)φ(a)≤0也简单.
φ(0)=f(a)-f(0)
φ(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)
它俩互为相反数,乘起来当然≤0啦