Question

高数 关于定积分的一个问题？

第14题这样做的问题在哪？谢谢

Answer 1

运用积分中值定理的话，当x变化时ξ也会变化，也就是说ξ是关于x的函数，所以对f(ξ)求导时需要按照复合函数求导法则，F'(x)=f'(ξ)ξ'(x)，而ξ关于x的函数表达式无法直接写出来，所以这样做并不行。

Answer 2

你那样将 F(x) 变成了常函数了。
试 解如下：
F(x) = ∫<a, x>f(t)dt/(x-a) ,
F'(x) = [(x-a)f(x)-∫<a, x>f(t)dt]/(x-a)^2
= [(x-a)f(x)-(x-a)f(ξ)]/(x-a)^2 = [f(x)-f(ξ)]/(x-a)
因 f'(x) ≤ 0, 则 f(x) 单调减少，画草图知 [f(x)-f(ξ)] 与 (x-a) 正负总是相反，
故 F'(x) = [f(x)-f(ξ)]/(x-a) ≤ 0