Question

高数一道二重积分交换次序的题目，请问如何确定上下限？

请问交换后的x的上下限为什么不能是0到根号y呢？判断上下限用啥方法啊？

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Answer 1

对，你没画错！【我没打开你的原题，只看到你手写的部分。】

原题：∫<0,1>dx∫<0,x²>f(x,y)dy；
更换积分次序：∫<0,1>dy∫<√y,1>f(x,y)dx;(选C)
【画水平线，先与曲线x=√y相交，再与直线x=1相交，
因此对x积分时，应该是从x=√y积到x=1】;

追问

没画错啊，0≤x≤1, 0≤y≤x²

Answer 2

你这么考虑，当dx在外积分，dy是内积分时，内积分的上下限相当于从(x,0)向上画一个竖条，宽度为dx，这个竖条底部就是内积分的下限，顶部就是上限
当dy在外积分，dx是内积分时，为了填满阴影区域，你需要绘制垂直于y轴的横条，显然横条必须在曲线的右侧，因此横条的左侧起点是曲线（即根号y），右侧是x=1，横条的宽度是dy

如果按照你说的用0到根号y，你变换后的积分的区域就不是阴影部分，而是曲线上方了，你用我所说的横条、竖条的方法画一下看看

Answer 3

其方法如下：由题设条件，有D={(x,y)丨0≤x≤1，0≤y≤x²}。画出草图，可知D区域由x轴、x=1、y=x²所围成。∴D等价于表示为“{(x,y)丨√y≤x≤1，0≤y≤1}”。
故，选C。

Answer 4

转换之后是后对y积分，先对x积分，这样就画一条与y轴垂直的有向射线，正方向和x轴正方向相同，射线穿过积分区域（就是你画的阴影部分），射线先碰到的曲线，就是积分下限根号y，后碰到的曲线就是积分上限1

Answer 5

xy互换，相当于坐标轴横竖坐标互换，
你把坐标旋转90度看