Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且COSB/COSC+b/2a+c=0

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且COSB/COSC+b/2a+c=0 (1)求B的大小；（2）若b=√21，a+c=5，求△ABC的面积。

Answer 1

M*N=cosBcosC-sinBsinC
=cos(B+c)=-cosA=1/2,
∴cosA=-1/2,A=120°。
S△ABC=(1/2)bcsinA=√3，bc=4,
由余弦定理，
a^2=b^2+c^2-2bccosA,a=2√3，
∴12=（b+c)^2-2bc(1+cosA)
=(b+c)^2-4,
∴（b+c)^2=16,
b+c=4.

Answer 2

解法如下：
应用正弦定理得到：
(cosb/cosc)+(sinb)/(2sina+sinc)=0;
显然cosb/cosc=0，所以此三角形是钝角三角形。
然后通分，得到：
(2cosb*sina+cosb*sinc+sinb*cosc)/(cosc)(2sina+sinc)=0;
得到：
(2cosb*sina+cosb*sinc+sinb*cosc)=0；即
(2cosb*sina+sina=0;
由于是钝角三角形，sina!=0;所以：
2cosb+1=0；
cosb=-1/2;
b=120°。解毕#