Question

1平方加到n平方的推导是？

Answer 1

1的平方加到n的平方的推导公式如下：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。

根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1可得，a=1时：2³-1³=3×bai1²+3×1+1，a=n时：(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1，将多个等式相加，既有2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)。

扩展资料：

立方差公式与立方和公式一起合称为完全立方公式。立方差公式指的是：数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。

立方差公式的证明如下：

a3-b3=a3-b3+a2b-a2b

=a2(a-b)+b(a2-b2)

=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)

=[a2+b(a+b)](a-b)

=(a-b)(a2+ab+b2)

Answer 2

要推导1平方加到n平方的结果，可以使用数学归纳法。
首先，我们需要找到1到n的平方数的和的公式。观察一下前几个平方数的和：
1^2 = 1
1^2 + 2^2 = 5
1^2 + 2^2 + 3^2 = 14
1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30
可以看出，1到n的平方数的和可以表示为：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6
现在我们来证明这个公式对于所有正整数n成立。
1. 基本情况：当n=1时，左边是1^2 = 1，右边是(1(1+1)(2*1+1))/6 = 1，两边相等。
2. 归纳假设：假设对于某个正整数k，公式成立，即1^2 + 2^2 + ... + k^2 = (k(k+1)(2k+1))/6。
3. 归纳步骤：我们需要证明当n=k+1时，公式也成立。也就是证明1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = ((k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1))/6。
我们可以将等式左边分解成两部分：1^2 + 2^2 + ... + k^2 和 (k+1)^2。根据归纳假设，1^2 + 2^2 + ... + k^2 = (k(k+1)(2k+1))/6，所以我们可以将等式重写为：
(k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)^2 = ((k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1))/6
我们可以对右边的式子进行化简：
(k(k+1)(2k+1))/6 + (k+1)^2 = ((k+1)(k+2)(2k+3))/6
接下来，我们将左边的两项通分，并将公因式(k+1)提取出来：
((k^3 + k^2)(2k+1) + 6(k+1)^2)/6 = ((k+1)(k^2 + 3k + 3))/6
在上式中，我们可以观察到右边的分子和分母中都有(k+1)这个因子。所以我们可以约掉这个因子：
(k^2 + 3k + 3)/6
这正好是等式右边的表达式，所以我们证明了当n=k+1时，公式也成立。
根据数学归纳法，我们可以得出结论：1^2 + 2^2 + ... + n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 对于所有正整数n成立。

Answer 3

要推导出1平方加到n平方的结果，可以使用数学归纳法。

首先，我们可以观察到以下几个特殊的情况：
当 n = 1 时，结果为 1 的平方，即 1。
当 n = 2 时，结果为 1 的平方加上 2 的平方，即 1 + 2² = 1 + 4 = 5。
当 n = 3 时，结果为 1 的平方加上 2 的平方加上 3 的平方，即 1 + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14。

假设对于任意的正整数 k，1² + 2² + ... + k² 的和为 S(k)。

现在，我们来看当 n = k + 1 时，我们要推导 S(k+1)。
根据归纳法的假设，已知 S(k) = 1² + 2² + ... + k²。

那么，S(k+1) = (1² + 2² + ... + k²) + (k+1)²。
我们可以将后面这两项展开：
S(k+1) = 1² + 2² + ... + k² + k² + 2k + 1。

观察到，k² 和 2k 这两项可以合并为 k(k+1)。因此，S(k+1) 可以进一步简化为：
S(k+1) = 1² + 2² + ... + k² + k(k+1) + 1。

我们可以将前面的和 S(k) 带入到上式中，得到：
S(k+1) = S(k) + k(k+1) + 1。

以上推导就得到了 1² + 2² + ... + n² 的结果。

解答方法有两种：
1. 通过推导得到的数学表达式求和，使用数学归纳法进行证明。
2. 使用简便方法，利用已知的公式进行求解。事实上，存在着一个已知公式：1² + 2² + ... + n² = n(n+1)(2n+1)/6。这个公式可以直接用来计算结果，而不需要进行推导。

无论使用哪种方法，最终的结果都是相同的。