二次型矩阵一定是实对称矩阵吗?
是的。
P^-1AP = diag，则 A = PdiagP^-1，由于P正交，所以P^-1=P^T，所以 A = PdiagP^T，所以 A^T = (PdiagP^T)^T = PdiagP^T = A，两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。
两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
了解实对称矩阵：如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身(aij=aji)(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。
四大特性：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0
E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
是的。
P^-1AP = diag。
则 A = PdiagP^-1。
由于P正交，所以P^-1=P^T。
所以 A = PdiagP^T。
所以 A^T = (PdiagP^T)^T = PdiagP^T = A。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。
对称双线性
在低层的域的特征不是2的时候，二次形式等价于对称双线性形式。二次形式总是生成对称双线性形式（通过极化恒等式），而反过来要求除以2。
注意对于任何向量u∈V2Q(u) =B(u,u)。
所以如果2在R中是可逆的（在R是一个域的时候这同于有不是2的特征），则我们可以从对称双线性形式B恢复二次形式，通过Q(u) =B(u,u)/2当2是可逆的时候，这给出在V上的二次形式和V上的双线性形式之间的一一映射。
