Question

初等矩阵的逆矩阵三种是什么？

Answer 1

第一种初等矩阵Tij的逆是自己Tij。

第二种初等矩阵Ti(m)的逆是Ti(1/m)。

第三种初等矩阵Tij(m)的逆是Tij(-m)。

1、初等矩阵是指由单位矩阵经过一次矩阵初等变换得到的矩阵。

2、 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

3、初等矩阵都是可逆矩阵且其逆仍是初等矩阵；可逆矩阵不一定是初等矩阵。A可逆的充分必要条件是A可成有限个初等矩阵的乘积。

应用：

（1）在解线性方程组中的应用 

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵

有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。