Question

(根号x+根号y)/根号(x+y) 最大值

x,y>0 求(根号x+根号y)/根号(x+y) 的最大值 此时x,y的值各是多少

Answer 1

因为X>0.Y>0
X+Y>=2√(XY)
此时X=Y
因为(√X+√Y)^2/√(X+Y)^2=(X+Y+2√(XY))/(X+Y)
=1+2√(XY)/(X+Y)<=1+2√(XY)/2√(XY)=2
所以(√X+√Y)^2/√(X+Y)^2最大值为2
又(√X+√Y)/√(X+Y)是(√X+√Y)^2/√(X+Y)^2的算术平方根
所以(√X+√Y)/√(X+Y)最大值为√2
此时
X,Y为任何>0的数,且X=Y

Answer 2

∵x＞0,
y＞0
∴√x
,√y均有意义
由基本不等式可得：
x+y≧2√(xy),
其中的等号仅当x=y时取得。
两边同加x+y,可得：
2（x+y)≧x+2√(xy)+y
即2(x+y)≧(√x+√y)²
两边开平方，可得：
√[2(x+y)]≧√x+√y
∴(√x+√y)/√(x+y)≦√2
其中，等号仅当x=y时取得。
∴原式的最大值为√2