Question

ab的秩与a的秩和b的秩的关系是什么？

Answer 1

r(A,B)>=r(A+B)。

r(A,B)>=r(B)>=r(AB)。

r(AB)与r(A+B)没有直接关系。

矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。

变化规律

1、转置后秩不变

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

3、r(kA)=r(A),k不等于0

4、r(A)=0 <=> A=0

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB)+n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

8、P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

9、若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。