Question

伴随矩阵的秩和原矩阵的关系是什么？

Answer 1

如下：

设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，两者的秩的关系如下：

r(A*) = n, 若r(A)=nr(A*)=1, 若r(A)=n-1，

r(A*)=0，若r(A)<n-1。

证明如下所示：

若秩r(A)=n，说明行列式|A|≠0，说明|A*|≠0，所以这时候r(A*)=n。

若秩r(A)<n-1，说明，行列式|A|=0，同时，矩阵A中所有n-1阶子式均为0，即行列式|A|的所有代数余子式均为0，所以这时候r(A*)=0。

若秩r(A)=n-1，说明，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：AA*=|A|E=0。

从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以最后等于1。

相关信息：

如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。

比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。