Question

MIT 线性代数 22 对角化和A的幂，差分方程的线性代数解法

Answer 1

假设矩阵 有 个线性无关的特征向量 ，这些特征向量按列组成特征向量矩阵
则

（ 称为对角特征值矩阵）

也就是
我们可以写成如下形式
这就是矩阵 的对角化方法

或

其中我们把 这是一个新的矩阵分解方法，我们之前消元的时候有 分解，以及施密特正交化的 分解

如果我们尝试对 的幂次方做计算，比如A的平方

于是同理可得有

也就是 的这种特征值对角化分解方式对于求 的幂次计算非常方便

给定差分方程

这样的问题，当 可对角化时，即存在 个 不同的特征向量以及对应的特征值的情况下，即A是满秩的，也是可逆的
那么很显然可以把 用A的特征向量进行线性组合表示，

于是
其中 是矩阵 的特征向量
,其中 表示矩阵 的各个特征向量对应的特征值
于是我们得到

这里举了一个斐波那契数列的例子
众所周知，斐波那契数列排列方式是 ，

即有

参考前面的例子我们可以这么写
追加一个等式得到方程组

如果我们令向量
于是就会有

也就是

其中特征矩阵c

令
马上可以求出特征值是
其特征向量即 的零空间 有

由前面的推论我们知道,特征向量 和 ,进行线性组合能得到
所以
而A又是可对角化的矩阵，所以

我们注意到第二项 为负数，意味着平方后这一项 整体收敛到无穷小，这意味着 数组系列的取值基本上由 决定

因为

于是可以解出

,,

于是我们甚至求出了斐波那契数列的通项公式

我们只看下面的 的展开

这就是斐波那契数列的通项公式