Question

牛顿对于微积分的证明

Answer 1

牛顿在1665～1666年利用流数术（fluxion）来对微积分理论进行证明，该证明利用到了二项式定理（Binomial theorem），并因为其对流数的引用，早到了贝克莱（George Berkeley）的批评。证明过程如下：

如图所示，现有一非常值函数:

与X轴构成的面积 为 ，则根据微积分知识，我们可知：

而牛则是从 的结果出发，逆推出 ，从而证明微积分算法。

需要通过（2）来证明（1），即在已知（2）的情况下推导出（1）。

首先构造矩形 ,其中 （这个 就被称为流数），使得 。

根据（2）则有：

令 则有，

根据（3），（4）有，

在（5）两边同时取 次方，

利用二项式公式，展开（6），

由于，

同时约去，得，

此时，将 看作不等于零的数，即 ，则可以在(8)两边同时除以一个 ，则有，

此时，让 ，即 ，此时 ，得，

整理，得，

QED.

证明之后牛顿说，当有一函数 ，其围成的面积则为 . 但是在文献中没有对这一说法给出具体的证明方法。

贝克莱所批判的点就在于流数 在（9）式中被看作 ，而在（10）式中被看作 ，因此贝称其为“消失的幽灵”。