Question

一道三角函数数学题。。求解决。。

在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且满足(2a-c)cosB=bcosC
（1）求角B的大小
（2）设m=(sinA，1)，n=(3，cos2A)，试求mn的取值范围

Answer 1

(1)首先证明三角形中的一个等式：ccosB+bcosC=a.
由余弦定理：cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)，所以
ccosB+bcosC
=c*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+b*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)
=(a^2+c^2-b^2)/(2a)+(a^2+b^2-c^2)/(2a)
=2a^2/(2a)
=a
即 ccosB+bcosC=a.
因此由 (2a-c)cosB=bcosC 可知 2acosB=ccosB+bcosC=a，即 2acosB=a，所以 cosB=1/2，但B为三角形内角，所以 B=60度。

(2) mn
=(sinA,1)(3,cos2A)
=3sinA+cos2A (由倍角公式：cos2A=1-2(sinA)^2)
=-2(sinA)^2+3sinA+1 (配方)
=-2(sinA-3/4)^2+17/8
因为 B=60度，所以 0<A<120度，因此 0<sinA<=1.
将上式看成关于sinA的二次函数，容易看出 sinA=3/4 时函数有最大值 17/8，sinA=0 时有最小值1(但这里取不到端点值1).由此可以得到 mn 的取值范围是 (1,17/8].

Answer 2

2acosB-ccosB=bcosC
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
4RsinAcosB-2RsinCcosB=2RsinBcosC
2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB
2sinAcosB=sin(B+C)=sinA
cosB=1/2 锐角 cos60*=1/2
B=60度