Question

求微分方程y''+(y)'^2=1 x=0时y=y'=0的特解

Answer 1

不显含x型
令y'=p,y"=pdp/dy
原微分方程可化为
pdp/dy+p^2=1
分离变量
pdp/(p^2-1)=-dy
两边积分
ln|p^2-1|=-2y+C
得到
p^2=C'e^(-2y)+1
初值条件x=0,y=y'=0可得C'=-1
则p=±√[1-e^(-2y)]
即dy/dx=±√[1-e^(-2y)]
分离变量
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
凑微
1/√[e^(2y)-1]d(e^y)=±dx
两边积分
ln|e^y+√[e^(2y)-1]|=±x+C"
初值条件x=0,y=y'=0可得C"=0
所以方程特解为
ln|e^y+√[e^(2y)-1]|=±x
【其中用到了公式∫1/√(x^2-1)dx=ln|x+√(x^2-1)|+C】