Question

多复变函数是什么

Answer 1

自从复变函数的理论被广泛应用于数学的各个分支后,人们自然想把复分析推广到任何多个自变量,以及任何多个因变量的复向量值函数上.
　　多复变函数就是研究这类推广的复变函数.
　　一开始,人们认为这种推广只不过是形式上的照搬而已,但是很快人们就发现多复变函数与单复变函数有着许多差异.
　　首先,多复变函数什么时候是全纯函数?Hartoges 花了很大的力气才证明：多复变函数全纯当且仅当它对每个自变量都是全纯的.这个结论看似简单,实则难矣.迄今为止,人们都没有找到一个简化的证明.
　　其次,关于函数的延拓也存在着极大的差异.我们知道,复平面上任何单连通的开集上都存在一个单复变函数,它不能延拓到这个开集之外--满足这种性质的开集叫做全纯域.但是在多复变函数里却发生了奇特的现象：有一些开邻域,它们上面的任何全纯函数都可以延拓到外面去.这种现象称为Hartoges现象.如果一个开邻域不能发生Hartoges现象,我们就成这个领域为全纯域.