Question

1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋4×5×6＋5×6×7＋6×7×8＋……＋98×99×100＝？

请各位老师帮我解答，谢谢！！
请给出详尽的答案。

Answer 1

解：∵n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n
而(n+1)^4- n^4=4n^3+6n^2+4n+1
∴[(n+1)^4- n^4]/4=n^3+3n^2/2+n+1/4。①
(n+1)^3- n^3=3n2+3n+1
∴[(n+1)^3- n^3]/2=3n^2/2+3n/2+1/2。②
(n+1)^2- n^2=2n+1 ∴[(n+1)^2- n^2]/4= n/2+1/4。③
s=1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)+…+ 98×99×100.
①+②-③有：
[(n+1)^4-n^4]/4+[(n+1)^3-n^3]/2-[(n+1)^2-n^2]/4= n^3+3n^2+2n+1/2。
然后将的位置分别换为1，2，3……98。裂项相消法得
[99^4-1]/4+[99^3-1]/2-[99^2-1]/4=S+98×1/2
得S=[99^4+2×99^3-99^2]-1/2=S+98×1/2
∴S= 24497550。
祝学习进步！不清楚联系QQ:442108258。

Answer 2

这类题目有一个公式的。
1*2*3+2*3*4+3*4*5+......+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
所以您的题目答案为98*99*100*101/4=24497550

Answer 3

求和s =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．

因为n(n+1)(n+2)=n^3 +3n^2 +2n
则 sn=(1^3 +3×1^2 +2×1)+(2^3 +3×2^2 +2×2)+(3^3+3×3^2+2×3)+
…n^3 +3n^2 +2n
=（1^3 +2^3+3^3 …+n^3 ）+3（1^2 +2^2 +3^3…+n ^2）+2（1+2+…+n）
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

代如数值98，得24497550

Answer 4

24497550