用导数证明不等式
用导数证明不等式试题
基本的方法就是 将不等式的的一边移到另一边，然后将这个式子令为一个函数 f(x). 对这个函数求导，判断这个函数这各个区间的单调性，然后证明其最大值(或者是最小值)大于 0. 这样就能说明原不等式了成立了!
1.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)
设函数f(x)=x-ln(x+1)
求导，f(x)\'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0
所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数
f(x)>f(1)=1-ln2>o
所以x>ln(x+1
2..证明：a-a^2>0 其中0
F(a)=a-a^2
F\'(a)=1-2a
当00;当1/2
因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0
即有当00
用导数证明不等式答案
x>0,证明：不等式x-x^3/6
先证明sinx
因为当x=0时，sinx-x=0
如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，
求导数有sinx-x的导数是cosx-1
因为cosx-1≤0
所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，
知sinx
再证x-x³/6
对于函数x-x³/6-sinx
当x=0时，它的值为0
对它求导数得
1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
要证x²/2+cosx-1>0 x>0
再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0
再次对它求导数得x-sinx
根据刚才证明的当x>0 sinx
x²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0
x²/2-cosx-1<0 x>0
所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0
得x-x³/6
利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立
令f(x)=x-x² x∈[0,1]
则f\'(x)=1-2x
当x∈[0,1/2]时,f\'(x)>0,f(x)单调递增
当x∈[1/2,1]时,f\'(x)<0,f(x)单调递减
故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得
f(0)=0,f(1)=0
故f(x)的最小值为零
故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
i、m、n为正整数，且1
用导数证明不等式新技巧
求证(1+m)^n > (1+n)^m
方法一：利用均值不等式
对于m+1个数，其中m个(2+m)，1个1,它们的算术平均数大于几何平均数，即
[(2+m)+(2+m)+...+(2+m)+1]/(m+1)>[(2+m)^m]^[1/(1+m)]
即1+m>(2+m)^[m/(1+m)]
即(1+m)^(1/m)>[1+(m+1)]^[1/(1+m)]
由此说明数列{(1+m)^(1/m)}是单调递减的。
方法二：导数方法
令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0
求导数
f\'(x)=(1+x)^(1/x)*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2
为了考察f\'(x)的`正负
令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0
g\'(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0
因此g(x)0,亦即f\'(x)<0
因此f(x)在(0,+∞)上单调递减。
令A*B*C=K的3次方
求证(1+A)的-(1/2)次方 加(1+B)的-(1/2)次方 加(1+C)的-(1/2)次方 >=(1+K)的-(1/2)次方
化成函数，f(x)，求导，可知其单调区间，然后求最大最小值即可。
理论上所有题目都可以用导数做，但有些技巧要求很高。
(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+C)^-1/2
=(1+A)^-1/2+(1+B)^-1/2+(1+K^3/AB)^-1/2=f(A,B)
对A求导，f'(A,B)A=0，可得一个方程，解出即得。
