Question

高阶线性微分方程求解

①的共轭虚根怎么求的呢
②公式里不是没有嘛

Answer 1

我们通常将含有二阶或二阶以上导数的微分方程称为高阶微分方程，把形如 [ 不恒为0]的方程称为非齐次线性微分方程，形如 的方程称为齐次线性微分方程。

设 是上述齐次线性微分方程的两个线性无关的解，则该方程的通解为 。非齐次线性微分方程的通解为 ，其中 是对应齐次线性微分方程的通解， 是非齐次线性微分方程的一个特解。

我们将形如 的方程称为常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 ，设方程的根为 。

当 时，通解为 ；
当 时，通解为 ；
当 ， 时，通解为 。

我们将形如 的方程称为常系数非齐次线性微分方程，其求解步骤为：

（1）求出对应齐次线性微分方程 的通解Y；

（2）用待定系数法求出非齐次线性微分方程 的一个特解 ；

（3）当 时，设特解 ，其中按 不是 的根、是单根、是二重根。k分别取0，1，2；
当 时，设特解
其中按 不是 的根、是特征根， k分别取0，1， 与 是 m次多项式，但其系数不同， 。

Answer 2

微分方程变换法有三种形式，本质上都是将原来方程中的变量换一种形式或者更换一种变量，更换变量是通过原方程的导数关系进行的，接下来我们就通过三个小题对微分方程的变换法有一个清楚的认识

一.无新变量

没有引入新变量，而是改变其形式，将原来的自变量变为因变量，因变量变为自变量。

二.引入一个新的变量

引入一个新的变量分为两种情况，一种是在等式两边只有两个变量，另一种是在等式两边有三个变量，首先我们来看看等式两边有两个变量的情况

e^x=t，左右两边变量分别为t和x

另一种情况是等式的两边有三个变量的情况，需要两边对自变量进行求导与原微分方程对比

等式化为u=ycosx，左边新变量

下面通过上面的总结来练习下面的习题吧

不管是哪种情况，做题都分为4步，第1步将给定的等式整理将新旧变量放到等式两边，第2步，将原式中的导数关系式以及新变量，第3步，关系式带入原始式，第4步，解微分方程并把变量替换

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Answer 3

微分方程的变换方法有三种形式。本质上，它将原始方程中的变量变成一种形式或变量。通过原始方程的导数关系进行变量替换。接下来，通过三个小问题，我们对微分方程的变换方法有了一个清晰的认识
我没有新的变量
它不引入新变量，而是改变其形式，将原始自变量更改为因变量，将因变量更改为自变量。
II引入一个新变量
微分方程的变换方法有三种形式。本质上，它将原始方程中的变量变成一种形式或变量。通过原始方程的导数关系进行变量替换。接下来，通过三个小问题，我们对微分方程的变换方法有了一个清晰的认识
我没有新的变量
它不引入新变量，而是改变其形式，将原始自变量更改为因变量，将因变量更改为自变量。
II引入一个新变量
引入新变量分为两种情况。一个是方程两边只有两个变量，另一个是方程两边都有三个变量。首先，让我们来看一下等式两边有两个变量的情况。
E^x=t，左变量和右变量分别为t和x
另一种情况是方程两边都有三个变量。有必要推导两侧的自变量，并将其与原始微分方程进行比较
等于u=ycosx，左侧为新变量
让我们通过以上总结练习以下练习
无论哪种情况，问题都分为四个步骤。步骤1排列给定的方程，将新旧变量放在方程的两侧，步骤2，将导数关系和新变量放入原始公式，步骤3，将关系放入原始公式，步骤4，求解微分方程并替换变量
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引入新变量分为两种情况。一个是方程两边只有两个变量，另一个是方程两边都有三个变量。首先，让我们来看一下等式两边有两个变量的情况。
E^x=t，左变量和右变量分别为t和x
另一种情况是方程两边都有三个变量。有必要推导两侧的自变量，并将其与原始微分方程进行比较
等于u=ycosx，左侧为新变量
让我们通过以上总结练习以下练习
无论哪种情况，问题都分为四个步骤。步骤1排列给定的方程，将新旧变量放在方程的两侧，步骤2，将导数关系和新变量放入原始公式，步骤3，将关系放入原始公式，步骤4，求解微分方程并替换变量
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Answer 4

我们通常将具有二阶或二阶以上导数的微分方程称为高阶微分方程，【非常数为0】形式的方程称为非齐次线性微分方程，【非常数为0】形式的方程称为齐次线性微分方程。
设其为上述齐次线性微分方程的两个线性无关解，则方程的通解为。非齐次线性微分方程的通解为，其中是齐次线性微分方程对应的通解和非齐次线性微分方程的特解。
我们称常系数方程为齐次线性微分方程，其特征方程为，设方程的根为。
当时的一般解决办法是,；
当时的一般解决办法是,；
当，一般的解决方案是。
我们称该方程为常系数非齐次线性微分方程，其求解步骤如下：
（1） 得到相应齐次线性微分方程的通解y；
（2） 利用待定系数法得到了非齐次线性微分方程的特解；
（3） 当时，设置了一个特殊的解决方案，其中根不是，它是一个单根，它是一个双根。K分别为0、1和2；
当时，设置了一个特殊的解决方案
其中，根据not的根和特征根，K分别取0和1，是一个m次多项式，但其系数不同。