Question

已知f(x)=lnx-a·e^x，若f(x)在(0，+∞)有且仅有一个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

f(x)=lnx-a*e^x
f'(x)=1/x-a*e^x
1）如果a≤0，那么f'(x)＞0，f(x)连续且单调递增，f(x)的值域是(-∞,+∞),故必有且仅有一个零点
2）如果a>0，那么f(x)存在极值点
f''(x)=-1/x^2-a*e^x<0
即f'(x)单调递减，f'(x)值域为(-∞,+∞)，f'(x)必有且仅有一个零点，此地为f(x)的极大值，记此时x为x0
当x趋近于0时f(x)趋于负无穷，当x趋近正无穷时，f(x)也趋近于负无穷（lnx是e^x的低阶无穷大）
若f(x0)>0,则f(x)在(0，+∞)里有两个零点，不符合要求
若f(x0)<0,则f(x)在(0，+∞)里没有零点，不符合要求
若f(x0)=0,则f(x)在(0，+∞)里有且仅有一个零点，符合要求
需要求解方程组
1/x-a*e^x=0
lnx-a*e^x=0
两式相可以得到lnx=1/x，似乎有个超越数的解
3）所以我的答案是a≤0或a=(lnx0/e^x0)其中x0满足lnx0=1/x0

脱离学校好久了，思路写出来了，不过应该是不符合具体的答题规范，麻烦自己整理下