Question

线性代数 - 判断向量的相关性（图解法）

Answer 1

例题【2008-23】设α，β，γ，δ是n向量，已经α，β线性无关，γ可以由α，β线性表示，δ不能由α，β线性表示，则以下选项中正确的是：（）
（A）α，β，γ，δ线性无关
（B）α，β，γ线性无关
（C）α，β，δ线性相关
（D）α，β，δ线性无关
做法：
1：把需要判断的向量，竖着列出来（本例是4行），然后后面画一些空白的网格，列数待定。
2：线性无关的向量，在不同的列上做标记，（本例中第一条，α，β线性无关，所以这两个向量在不同的列上标记一下，不同的列，表示无关）
3.线性相关的向量，在相同的列上做标记，（本例中第二条，γ可以由α，β线性表示，则有两种可能，γ和α线性相关，γ和β线性相关，那么就在γ这一行，分别与α，β同列的位置做个标记，表示它们线性相关
4.δ不能由α，β线性表示，同2
具体请看下图

这样最后得出结果就可以来判断选项的正确与否了
由图可知，判断哪些向量是否相关，只要看看对应这些向量的列方向上，有没有重复标记的，就能知道对应的向量有没有相关的了。
（A）α，β，γ，δ线性无关
在可能性一中，α，γ相关，所以A错
在可能性二中，β，γ相关，所以A错
（B）α，β，γ线性无关
在可能性一中，α，γ相关，所以B错
在可能性二中，β，γ相关，所以B错
（C）α，β，δ线性相关
在可能性一中，α，β，δ线性无关，所以C错
在可能性二中，α，β，δ线性无关，所以C错
（D）α，β，δ线性无关
D正确