Question

卷积的理解

Answer 1

卷积：

其实就是---通过两个 函数 f和g生成第三个函数的一种数学 算子 ，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的面积。如果将参加卷积的一个函数看作 区间 的 指示函数 ，卷积还可以被看作是“ 移动平均 ”的推广。

图示两个方形脉冲波的卷积。其中函数"g"首先对τ=0反射，接着平移"t"，成为g（t-τ）。那么重叠部份的面积就相当于"t"处的卷积，其中横坐标代表待积变量τ以及新函数f*g的自变量"t"。

从图像可以看出，两个函数卷积的结果为，方形重叠区域面积度量。

图示方形脉冲波和指数衰退的脉冲波的卷积（后者可能出现于 RC电路 中），同样地重叠部份面积就相当于"t"处的卷积。注意到因为"g"是对称的，所以在这两张图中，反射并不会改变它的形状。

简单介绍

卷积是分析数学中一种重要的运算。设：f(x),g(x)是R上的两个可积函数，作积分：

可以证明，关于几乎所有的

上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数

f与g的卷积，记为

我们可以轻易验证：

并且

仍为可积函数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。例如两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，利用此一性质，能简化傅里叶分析中的许多问题。

由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f*g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

函数 f 与 g 的卷积记作

它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

积分区间取决于 f 与 g 的 定义域 。

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

卷积：

卷积是一个简单的数学操作，是很多普通图像处理操作的基本算子之一。卷积提供了两个数组相乘的方式，两个数组拥有不同的大小，但是具有相同的维数，生成一个用于相同维数的新数组。可以用于图像处理执行操作，输入一组特定的像素值线性组合为另一组输出像素值。

在图像处理方面，一般输入的是灰度图像的数组。第二个数组通常很小，仅有二维（也许仅有一个单像素值），而被称为内核。图1显示一个图像例子和内核，用于说明卷积。

Figure 1 An example small image (left) and kernel (right) to illustrate convolution. The labels within each grid square are used to identify each square.

Convolution  参考网址： http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/convolve.htm