Question

三角函数如何转换成指数函数？

Answer 1

将复数化为三角表示式和指数表示式是：复数z=a+bi有三角表示式z=rcosθ+irsinθ，可以化为指数表示式z=r*exp(iθ)。exp()为自然对数的底e的指数函数。即：exp(iθ)=cosθ+isinθ。 证明可以通过幂级数展开或对函数两端积分得到，是复变函数的基本公式。

一、三角函数课程介绍：三角函数是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。

二、三角函数相关公式：

1、两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

2、倍角公式 

tan2A = 2tanA/(1-tan² A) 
Sin2A=2SinA•CosA 
Cos2A = Cos^2 A--Sin² A 
=2Cos² A—1 
=1—2sin^2 A

3、三倍角公式

sin3A = 3sinA-4(sinA)³; 
cos3A = 4(cosA)³ -3cosA 
tan3a = tan a • tan(π/3+a)• tan(π/3-a)

4、半角公式 

sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} 
cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} 
tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} 
cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} ? 
tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

5、和差化积 

sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 
sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 
cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] 
cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB

6、积化和差 

sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] 
cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] 
sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 
cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]

7、诱导公式 

sin(-a) = -sin(a) 
cos(-a) = cos(a) 
sin(π/2-a) = cos(a) 
cos(π/2-a) = sin(a) 
sin(π/2+a) = cos(a) 
cos(π/2+a) = -sin(a) 
sin(π-a) = sin(a) 
cos(π-a) = -cos(a) 
sin(π+a) = -sin(a) 
cos(π+a) = -cos(a) 
tgA=tanA = sinA/cosA

8、万能公式

sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]²} 
cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]²} 
tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}