Question

线性代数，A,B为n阶方阵，AB≠0，是否一定有r(A)+r(B)≥n，请给出具体过程？

Answer 1

设A,B为n阶方阵,且AB＝0,证明:R(A)+R(B)小于等于n
因为AB＝0，所以矩阵B的列向量都是线性方程组AX=0的解；则矩阵B的列向量组的秩，不大于方程组AX=0的基础解系的个数，也就是说矩阵B的列向量组可以由AX=0 的基础解系线性表示，所以R(B) <= n-R(A)，故R(A)+R(B)小于等于n。

Answer 2

C=AB为n阶方阵,C≠0,所以把C满秩,r(C)=n,B的每一列为Ax=b的解，所以r(A)+r(B)≤n