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1、正项级数比较判别法
简而言之,小于收敛正项级数的必然收敛,大于发散正向级数的必然发散。其中可以存在倍数关系,可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式,就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。
2、任意项级数阿贝尔判别法
其中一组级数收敛;另一组级数单调有界;那么二者的乘积构成的级数收敛。
绝对收敛
一个收敛的级数,如果在逐项取绝对值之后仍然收敛,就说它是绝对收敛的;否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明,只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛,而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。由此易见,绝对收敛级数同正项级数一样,很像有限和,可以任意改变项的顺序以求和,可以无限分配地相乘。
但是条件收敛的级数,即收敛而不绝对收敛的级数,决不可以这样。这时式右边成为两个发散(到+∞)的、其项趋于零的、正项级数之差,对此有黎曼定理。
简而言之,小于收敛正项级数的必然收敛,大于发散正向级数的必然发散。其中可以存在倍数关系,可以将一个级数放大或缩小再进行比较。若用极限形式,就是二者的比值的极限值是一个有限的正数即可。
2、任意项级数阿贝尔判别法
其中一组级数收敛;另一组级数单调有界;那么二者的乘积构成的级数收敛。
绝对收敛
一个收敛的级数,如果在逐项取绝对值之后仍然收敛,就说它是绝对收敛的;否则就说它是条件收敛的。
简单的比较级数就表明,只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛;因而分解式(不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛,而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。由此易见,绝对收敛级数同正项级数一样,很像有限和,可以任意改变项的顺序以求和,可以无限分配地相乘。
但是条件收敛的级数,即收敛而不绝对收敛的级数,决不可以这样。这时式右边成为两个发散(到+∞)的、其项趋于零的、正项级数之差,对此有黎曼定理。
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(1)首先,考虑当项数无限增大时,一般项是否趋于零。如果不趋于零,便可判断级数发散。如果趋于零,则考虑其它方法。
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定,如能确定,则级数的敛散性自然也明确了。但往往部分和数列的通项就很难写出来,自然就难以判定其是否有极限了,这时就应考虑其它方法。
(3)如果级数是正项级数,可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效。如果无效,再考虑用比较判别法或者其他的判别法。这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便,而比较判别法适应的范围却很大。
(4)如果级数是任意项级数,应首先考虑它是否绝对收敛。当不绝对收敛时,可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数。
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定,如能确定,则级数的敛散性自然也明确了。但往往部分和数列的通项就很难写出来,自然就难以判定其是否有极限了,这时就应考虑其它方法。
(3)如果级数是正项级数,可以先考虑使用达朗贝尔判别法或柯西判别法是否有效。如果无效,再考虑用比较判别法或者其他的判别法。这是因为达朗贝尔判别法与柯西判别法使用起来一般比较简便,而比较判别法适应的范围却很大。
(4)如果级数是任意项级数,应首先考虑它是否绝对收敛。当不绝对收敛时,可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数。
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1、判定级数的发散性方法如下:看通项un的极限是不是0。如果极限不为0,那么∑un必然发散。如果极限为0,那么∑un就有可能发散也有可能收敛,要具体分析。幂级数Σa_n*x^n(n从0到+∞)在收敛半径之内绝对收敛,在收敛半径之外发散。在收敛区间端点.
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