Question

已知x 大于0,Y大于0且满足2x+y=1,求1/x+1/y的最小值？

Answer 1

1/x + 1/y=(2x+y)/x + (2x+y)/y
=2 + y/x + 2x/y + 1=y/x + 2x/y + 3
由基本不等式：y/x + 2x/y≥2√(y/x)·(2x/y)=2√2
当且仅当y/x=2x/y时，取等号
则2x²=y²，将y=1－2x代入：2x²=(1－2x)²
解得：x=(2 ± √2)/2
代回：y=-1－√2或y=√2－1
∵x＞0，y＞0
∴当x=(2－√2)/2，y=√2－1时：1/x + 1/y有最小值2√2 + 3

Answer 2

1/x+1/y
=(1/x+1/y)(2x+y)
=2x/y+y/x+3
>=2√2+3
当且仅当2x/y=y/x，2x^2=y^2，√2x=y，x=1-(√2)/2，y=√2-1时，等号成立
注：因为x和y同号，所以y=-√2x舍去