Question

高阶线性微分方程怎么解

Answer 1

在线性电路系统，n阶微分方程一般化为n元一阶微分方程组来求解 (状态变量法)。
状态方程 dX/dt＝AX＋Be，微分方程组；
输出方程 Y＝CX＋De，代数方程。
A B C D为矩阵，A为系统主矩阵，Ⅹ为各状态变量排成的列向量，e为各电源Us和Ⅰs排成的列向量。求解低阶微分方程时，转为微分方程组并不显示优势，有时反显得麻烦。对于复杂电路大型微分方程组则表现很多优势。①前者只适应单输入、单输出( I/O )情形；后者适用于多输入多输出情形 (MIMO)。②能计算到电路系统内每个元件或网络电流与电压，以防止系统内发生电压电流∞，防止电路进入非线性区，防止电路被烧坏。③ 对线性电路系统主矩阵A可求特征值，由此判定系统的稳定性。④ 方程组描述的线性系统满足可控制性。对系统加一个激励信号，使系统从一工作状态转为另一工作状态，这就对系统实现了控制。矩阵A、B决定的控制矩阵Mc，Mc可判定系统是否可控，Mc可逆(或满秩)时系统即可控。⑤方程组描述的线性系统满足可观测性。只有能够观测的系统才能控制它的运行状态。矩阵A、C决定的观测矩阵Mo，Mo可判定系统是否可观测，Mo满秩时系统可观测。⑥求解线性微分方程组，特别适合编写程序交计算机完成，一般采用数值解法。⑦教科书提供求解公式为。

▲第一项为【0输入】响应 ~ (无输入电源、有初始储能)。X(0) 是0输入时系统的 初始值 (初始电压、电流)；

▲第二项为【0初态】响应 ~ (无初始储能、有输入电源)。 u(t) → u(τ)是电源Us及Is排成的列向量，即前面用字母e表示的电源向量。