Question

柯西收敛准则是什么?

Answer 1

柯西收敛准则是一个用来判断数列是否收敛的方法，同时也是实数完备性的一个等价定理。需要指出的是，它的条件更弱，需要加上阿基米德性才能和其它如确界定理等的定理等价。是用来判断某个式子是否收敛的充要条件。

柯西收敛准则的概括

主要应用在数列，数项级数，函数，反常积分，函数列和函数项级数的方面。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件.是数学分析中的一个重要定理之一。

运用柯西收敛准则可以解决一些无法运用N定义，公式法，裂项求和， 两边夹法则等比较复杂的数列问题。是解决这些问题的一个实用性比较强的工具，为这些问题的解决提供了一个新的思考方向。

Answer 2

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。

柯西收敛准则充分性证明:

(1)、首先证明Cauchy列有界。

取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有Ia(n)-a(N+1)I<1。

令M=max{|a(1)|,|a(2)|…|a(N)|，|a(N+1)|+1}。

则对一切n，成立|a(n)|≤M。

所以Cauchy列有界。

(2)、其次在证明收敛。

因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理(有界数列有收敛子列)存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。

因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有|a(m)-a(n)|<ε/2。

取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得|aj(k)-A|<ε/2。

因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε。

这样就证明了Cauchy列收敛于A。

即得结果:Cauchy列收敛。