Question

二项式定理习题

已知（x^2-1/x)^n的展开式中含x的项为第六项，设（1-x+2x^2）^n=a0+a1 x+a2 x^2+....+a2n x^2n 求a1+a2+...a2n

Answer 1

例1. 已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列。
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项。
分析：依条件可得关于n的方程求出n，然后写出通项 ，讨论常数项和有理项对r的限制。
解：依题意，前三项系数的绝对值分别为1， 且
即
解得n＝8或n＝1（舍去）

（1）若 为常数项，当且仅当 ，即 ，而 ，这不可能，故展开式中没有常数项。
（2）若 为有理数，当且仅当 为整数。

，即展开式中的有理项共有三项，
评注：此类问题都由通项入手，依条件列出方程并结合题意讨论，但要注意常数项和有理项概念的区别。
二. 求二项式系数或展开式中的项的系数
展开式中二项式系数或展开式中的项的系数与通项有密切的联系，在通项公式中，一定要注意正、负，结合题意易获得。
例2. 求 展开式的：
（1）第6项的二项式系数；
（2）第3项的系数；
（3） 的系数。
分析：（1）由二项式定理及展开式的通项公式易得：第6项的二项式系数为 ；
（2） ，故第3项的系数为9；
（3） ，令 ，故r＝3，所求系数是
评注：求二项式系数或展开式中的项的系数可直接由通项公式得出，但要注意这两个概念的区别。
三. 求相关元素
此类问题一般是根据已知条件列出等式，进而解得所要求的元素。
例3. 设 ， 的展开式中 的系数为 ，则n＝________。
分析： ，则 的系数为
展开整理得：
解得n＝4
四. 求证整除、求余数
例4. 求证： 能被7整除。
分析： ，除 以外各项都能被7整除。
又
显然能被7整除，所以 能被7整除。
例5. 求 除以100的余数。
分析：
由此可见，除后两项外均能被100整除，而
故 除以100的余数为81。
评注：利用二项式定理解决有关多项式的整除、余数问题，关键是将所给多项式中的幂通过恒等变形变为二项式形式，使幂的底数的两项中一项含有除式（或除式的因式），而另一项的绝对值较小，然后展开证明、求解。
五. 求近似值
例6. 求 精确到0.01的近似值。
分析：先将0.95化为二项代数和1－0.05，再利用二项式定理计算。
解：

又 ，而以后各项的绝对值更小。
∴从第4项起，均可忽略不计。

评注：利用二项式定理求近似值，先将底数化为一个整数与一个绝对值较小的数的代数和，再利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度

Answer 2

由条件，（x^2)^(n-5)*(1/x)^5=x => n=8
再令x=1，得a0+a1+……+a2n=2^n=2^8=256,
又令x=0，得a0=1，
两式相减，答案为255