Question

所有自然数之和=-1/12

Answer 1

自然数总和当然不是-1/12 。

这不是实际上的加法，是解析沿拓，把无穷大收敛到(-1,1)的这个范围里，这样本来不能求和的发散级数也能有个解了(不然大家都是无穷大，怎么比较无穷大之间的差距呢)。至于“没有任何意义” 更说不上了，现在使用的电子显微镜，还有使用了量子场论的量子通信等，都用上了解析延拓的方法来处理无穷大问题，很有实际用途，

首先，需要证明两个同样的说法：

1. 1–1+1–1+1–1 = 1/2

2. 1-2+3-4+5-6 =1/4

这才是真正神奇的地方，事实上，没有这个，其他两个证明是不可能的。我从一个级数A开始，它等于1-1 + 1-1 + 1-1重复了无数次。这样写：

A= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1

然后做一个小技巧，从1中减去A：

1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1)

到目前为止都没问题吧？魔法要开始了！如果我化简方程的右边，我得到一个非常奇怪的结果：

1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1

看起来熟悉吗？在等式的右边，是我们开始时的级数。所以我可以用A代替右边，做一些代数运算，然后，就是见证奇迹的时刻：

1- A = A

1-A + A = A + A

1 = 2A

1/2 = A

这就是格兰迪的级数，以意大利数学家、哲学家格兰迪的名字命名。这就是这个级数的神奇之处，虽然它是我个人的最爱，但在这背后并没有一个很酷的历史或故事。然而，它确实为证明许多有趣的事情打开了大门，包括一个非常重要的量子力学方程，甚至弦理论。稍后再详细讲。现在，我们开始证明#2：1-2 + 3-4 + 5-6，= 1/4。

我们按照上面的方法开始，让B= 1-2 + 3-4 + 5-6然后我们就可以开始玩了。这一次，我们不是用1减去B，而是用A减去B。从数学上讲，我们得到：

A-B = (1–1+1–1+1–1) — (1–2+3–4+5–6)

A-B = (1–1+1–1+1–1) — 1+2–3+4–5+6

然后我们稍微改变一下，我们看到另一个有趣的模式出现了。

A-B = (1–1) + (–1+2) +(1–3) + (–1+4) + (1–5) + (–1+6)

A-B = 0+1–2+3–4+5

再一次，我们得到了开始时的级数，之前，我们知道A = 1/2，所以我们用一些更基本的代数来证明我们今天的第二个。

A-B = B

A = 2B

1/2 = 2B

1/4 = B

这个方程没有一个花哨的名字，因为它多年来已经被许多数学家证明，同时又被贴上了一个矛盾方程的标签。尽管如此，它还是在当时的学术界引发了一场争论，甚至帮助扩展了欧拉在巴塞尔问题中的研究，并将其引向重要的数学函数，如雷曼泽塔函数。

我们更近一步，下面才是你一直期待的。再一次，我们通过C = 1+2+3+4+5+6来开始，你可能已经猜到了，我们将从B中减去C。

B-C = (1–2+3–4+5–6)-(1+2+3+4+5+6)

我们将重新排列一些数字的顺序，在这里，我们得到的东西看起来很熟悉，但可能不是你怀疑的。

B-C = (1-2+3-4+5-6)-1-2-3-4-5-6

B-C = (1-1) + (-2-2) + (3-3) + (-4-4) + (5-5) + (-6-6)

B-C = 0-4+0-8+0-12

B-C = -4-8-12

不是你想要的，对吧？我还有最后一招，我会让你的期待是值得的。如果你注意到，右边的所有项都是-4的倍数，所以我们可以提出这个常数因子，我们得到了开始时的结果。

B-C = -4(1+2+3)

B-C = -4C

B = -3C

因为我们已经证明B=1/4的值，我们只要把那个值代入就得到了神奇的结果：

1/4 = -3C

1/-12 = C

这就是20世纪初发现的拉曼努扬求和，它在物理学的许多不同分支上仍然影响了近100年。所有自然数之和是-1/12。