Question

为什么f(x)=-g(x)？

Answer 1

方程的两个同解原理的证明方程同解原理1　
方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程．
证明：任意给定一个一元方程，我们用f（x）与g（x）分别表示方程的左边与右边，即把原方程记为
f（x）=g（x）………………①
在方程①的两边都加上一个整式d（x）（一个数可以看作是整式的特例），得到
f（x）+d（x）=g（x）+d（x）………………②
设x=a是方程①的解，即有
f（a）=g（a）．
因为d（x）是一个整式，d（a）是有意义的，所以根据等式性质1有
f（a）+d（a）=g（a）+d（a），
即x=a是方程②的解．
反过来，设x=a是方程②的解，即有
f（a）+d（a）=g（a）+d（a）．
在上面等式两边都减去d（a），根据等式性质1有
f（a）=g（a），
即x=a是方程①的解．
此外，如果在两个方程中，其中之一的解集是空集，那么另一方程的解集也必为空集．否则，设它有解x=a，那么按照上面的做法，可以推出前一个方程也有解x=a，与这个方程的解集是空集矛盾．
从上面的证明可知，方程①与②是同解方程．对于多元方程，证明与上面类似．
方程同解原理2　
方程两边都乘（或除以）不等于0的同一个数，所得方程与原方程是同解方程．
证明：任意给定一个一元方程，我们用f（x）和g（x）分别表示方程的左边和右边，也就是把原方程改写成
f（x）=g（x）………………③
用任意一个不为0的数c乘③式两边，我们得到方程
cf（x）=cg（x）………………④
现在假定x=a是方程③的解，即下面的等式成立：
f（a）=g（a）．
根据等式性质2，我们知道
cf（a）=cg（a）
也成立，即x=a也是方程④的解．
反过来，假定x=b是方程④的解，即下面的等式成立：
cf（b）=cg（b），
其中c是一个不为0的数．根据等式性质2，我们知道
f（b）=g（b）
也成立，即x=b也是方程③的解．
此外，与方程同解原理1的证明类似，可以证明在上面两个方程中，如果其中之一的解集为空集，那么另一方程的解集也必为空集．
从上面的证明可知，方程③与④是同解方程．对于多元方程，证明与上面类似．