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为什么f(x)=-g(x)?
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方程的两个同解原理的证明方程同解原理1
方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得方程与原方程是同解方程.
证明:任意给定一个一元方程,我们用f(x)与g(x)分别表示方程的左边与右边,即把原方程记为
f(x)=g(x)………………①
在方程①的两边都加上一个整式d(x)(一个数可以看作是整式的特例),得到
f(x)+d(x)=g(x)+d(x)………………②
设x=a是方程①的解,即有
f(a)=g(a).
因为d(x)是一个整式,d(a)是有意义的,所以根据等式性质1有
f(a)+d(a)=g(a)+d(a),
即x=a是方程②的解.
反过来,设x=a是方程②的解,即有
f(a)+d(a)=g(a)+d(a).
在上面等式两边都减去d(a),根据等式性质1有
f(a)=g(a),
即x=a是方程①的解.
此外,如果在两个方程中,其中之一的解集是空集,那么另一方程的解集也必为空集.否则,设它有解x=a,那么按照上面的做法,可以推出前一个方程也有解x=a,与这个方程的解集是空集矛盾.
从上面的证明可知,方程①与②是同解方程.对于多元方程,证明与上面类似.
方程同解原理2
方程两边都乘(或除以)不等于0的同一个数,所得方程与原方程是同解方程.
证明:任意给定一个一元方程,我们用f(x)和g(x)分别表示方程的左边和右边,也就是把原方程改写成
f(x)=g(x)………………③
用任意一个不为0的数c乘③式两边,我们得到方程
cf(x)=cg(x)………………④
现在假定x=a是方程③的解,即下面的等式成立:
f(a)=g(a).
根据等式性质2,我们知道
cf(a)=cg(a)
也成立,即x=a也是方程④的解.
反过来,假定x=b是方程④的解,即下面的等式成立:
cf(b)=cg(b),
其中c是一个不为0的数.根据等式性质2,我们知道
f(b)=g(b)
也成立,即x=b也是方程③的解.
此外,与方程同解原理1的证明类似,可以证明在上面两个方程中,如果其中之一的解集为空集,那么另一方程的解集也必为空集.
从上面的证明可知,方程③与④是同解方程.对于多元方程,证明与上面类似.
方程两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得方程与原方程是同解方程.
证明:任意给定一个一元方程,我们用f(x)与g(x)分别表示方程的左边与右边,即把原方程记为
f(x)=g(x)………………①
在方程①的两边都加上一个整式d(x)(一个数可以看作是整式的特例),得到
f(x)+d(x)=g(x)+d(x)………………②
设x=a是方程①的解,即有
f(a)=g(a).
因为d(x)是一个整式,d(a)是有意义的,所以根据等式性质1有
f(a)+d(a)=g(a)+d(a),
即x=a是方程②的解.
反过来,设x=a是方程②的解,即有
f(a)+d(a)=g(a)+d(a).
在上面等式两边都减去d(a),根据等式性质1有
f(a)=g(a),
即x=a是方程①的解.
此外,如果在两个方程中,其中之一的解集是空集,那么另一方程的解集也必为空集.否则,设它有解x=a,那么按照上面的做法,可以推出前一个方程也有解x=a,与这个方程的解集是空集矛盾.
从上面的证明可知,方程①与②是同解方程.对于多元方程,证明与上面类似.
方程同解原理2
方程两边都乘(或除以)不等于0的同一个数,所得方程与原方程是同解方程.
证明:任意给定一个一元方程,我们用f(x)和g(x)分别表示方程的左边和右边,也就是把原方程改写成
f(x)=g(x)………………③
用任意一个不为0的数c乘③式两边,我们得到方程
cf(x)=cg(x)………………④
现在假定x=a是方程③的解,即下面的等式成立:
f(a)=g(a).
根据等式性质2,我们知道
cf(a)=cg(a)
也成立,即x=a也是方程④的解.
反过来,假定x=b是方程④的解,即下面的等式成立:
cf(b)=cg(b),
其中c是一个不为0的数.根据等式性质2,我们知道
f(b)=g(b)
也成立,即x=b也是方程③的解.
此外,与方程同解原理1的证明类似,可以证明在上面两个方程中,如果其中之一的解集为空集,那么另一方程的解集也必为空集.
从上面的证明可知,方程③与④是同解方程.对于多元方程,证明与上面类似.
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