Question

ax=b的解的三种情况线性代数

Answer 1

ax=b的解的三种情况线性代数情况分析如下：

Ax=b

如果b存在于A的列张成的空间中，则有解，否则无解；

如果b存在于A的列张成的空间中，且A的列均是线性无关的（列满秩），那么存在唯一解；

如果b存在于A的列张成的空间中，但A的列是线性相关的（非列满秩），那么存在多解。

A如果行满秩，说明A的秩等于行满秩的秩，也就是A的列数只能大于等于行数（多解或者唯一解）

A的列数等于A的行数，那么A的列是线性无关的，可以张成整个空间，对于任意的b存在解且唯一；

A的列数大于A的行数，那么A的列是线性相关的，虽然可以张成整个空间，对于任意的b存在多解；

A如果列满秩，那么A的列是线性无关的，说明A的秩等于列满秩的秩，也就是A的行数只能大于等于列数（无解或者唯一解）

A的行数等于A的列数，退化成满秩问题，对于任意的b存在解且唯一；

A的行数大于A的列数，情况分为2种（不存在多解的情况）：

如果b不存在于A的列张成的空间中，则无解；

如果b存在于A的列张成的空间中，则有唯一解；

A既不是行满秩也不是列满秩（无解或者多解）

如果b不存在于A的列张成的空间中，则无解；

如果b存在于A的列张成的空间中，则有解，且是多解；（这里不考虑其他部分均0，可以退化成低维度满秩的情况，即不考虑[1 0; 0 0]）