Question

设函数f(x)＝p(x−1x)−2lnx，g(x)＝2ex（p是实数，e为自然对数的底数）

Answer 1

（1）f′（x）=
px2−2x+p
x2，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f′（x）≥0恒成立”，即p≥[2x
x2+1=
2
x+
1/x]恒成立，又 [2
x+
1/x≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f′（x）≤0恒成立，再转化为“p≤
2x
x2+1]=[2
x+
1/x]恒成立”，又 [2
x+
1/x＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（2）因g（x）=
2e
x]在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x） max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x） max＞g（x） min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-[1/e]）-2lne＞2⇒p＞[4e
e2−1．
③当0＜p＜1时，因x-
1/x]≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-[1/x]）-2lnx≤（x-[1/x]）-2lnx≤e-[1/e]-2lne＜2不合题意
综上，p的取值范围为（
4e
e2−1，+∞）