不定积分怎么求?

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具体回答如图所示:

把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。 

注:∫f(x)dx+c1=∫f(x)dx+c2, 不能推出c1=c2

扩展资料:

若f(x)在[a,b]上恒为正,可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。

不定积分的积分公式主要有如下几类:

含ax+b的积分、含√(a+bx)的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b(a>0)的积分、含有√(a²+x^2) (a>0)的积分、含有√(a^2-x^2) (a>0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

参考资料来源:百度百科——积分公式

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  • 根式换元法:

  • 设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:

    ∫x√(x+2)dx

    =∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

    =2∫t^2*(t^2-2)dt,

    =2∫(t^4-2t^2)dt,

    =2/5*t^5-4/3*t^3+C,

    =2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

    请点击输入图片描述

  • 凑分法不定积分:

  • ∫x√(2x^2+1)^3dx

    =(1/2)∫√(2x^2+1)^3dx^2

    =(1/4)∫√(2x^2+1)^3d2x^2

    =(1/4)∫(2x^2+1)^(3/2)d(2x^2+1)

    =(1/4)*(2/5)* (2x^2+1)^(5/2)+C.

    =(1/10)* (2x^2+1)^(5/2)+C.

    请点击输入图片描述

  • 分部积分法计算不定积分:

  • ∫x^4 (lnx)^2dx

    =(1/5)∫(lnx)^2dx^a11,以下第一次使用分部积分法,

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(1/5)∫x^5d(lnx)^2

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^5*lnx*(1/x)dx

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/5)∫x^4*lnxdx

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)∫lnxdx^5,

    请点击输入图片描述

    以下第二次使用分部积分法,

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5dlnx

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^5*1/xdx

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/25)∫x^adx

    =(1/5) (lnx)^2*x^5-(2/25)lnx*x^5+(2/125)x^5+c

    =x^5 [(1/5) (lnx)^2-(2/25)lnx+(2/125)]+c

    =(1/125)x^5 [25 (lnx)^2-10lnx+2]+c.

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  • 凑分及分部积分法

  • ∫(10x^2+x+1)lnxdx

    =∫lnxd(10x^3/3+x^2/2+x),对幂函数部分进行凑分,

    =lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dlnx

    =lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^3/3+x^2/2+x)dx/x

    =lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-∫(10x^2/3+x/2+1)dx

    =lnx*(10x^3/3+x^2/2+x)-(10x^3/9+x^2/4+x)+C。

    请点击输入图片描述

  • 不定积分概念

  • 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

    请点击输入图片描述

    其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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  • 不定积分的计算

  • 求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

    不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。


    例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

    • 主要内容:

    • 通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识,介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。

      请点击输入图片描述

    • 根式换元法:

    • 设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:

      ∫x√(x+2)dx

      =∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

      =2∫t^2*(t^2-2)dt,

      =2∫(t^4-2t^2)dt,

      =2/5*t^5-4/3*t^3+C,

      =2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

      请点击输入图片描述

    • 根式部分凑分法

    • ∫x√(x+2)dx

      =∫x√(x+2)d(x+2),

      =2/3∫xd(x+2)^(3/2),

      =2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

      =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

      =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,

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    • 整式部分凑分法

    • A=∫x√(x+2)dx,

      =(1/2)∫√(x+2)dx^2,

      =(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

      =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

      =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

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      =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

      即:(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

      A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

      A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。

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    • 不定积分概念

    • 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

      其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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      不定积分的计算

      求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

      不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

例如三种方式计算不定积分∫x√(x+2)dx。

  • 主要内容:

  • 通过根式换元、分项凑分以及分部积分法等相关知识,介绍不定积分∫x√(x+2)dx的三种计算方法和步骤。

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  • 根式换元法:

  • 设√(x+2)=t,则x=(t^2-2),代入得:

    ∫x√(x+2)dx

    =∫t*(t^2-2)d(t^2-2),

    =2∫t^2*(t^2-2)dt,

    =2∫(t^4-2t^2)dt,

    =2/5*t^5-4/3*t^3+C,

    =2/5*(x+2)^(5/2)-4/3*(x+2)^(3/2)+C,

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  • 根式部分凑分法

  • ∫x√(x+2)dx

    =∫x√(x+2)d(x+2),

    =2/3∫xd(x+2)^(3/2),

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 2/3∫(x+2)^(3/2)dx,

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/3∫(x+2)^(3/2)d(x+2),

    =2/3*x(x+2)^(3/2)- 4/15*(x+2)^(5/2)+C,

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  • 整式部分凑分法

  • A=∫x√(x+2)dx,

    =(1/2)∫√(x+2)dx^2,

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/2)∫x^2d√(x+2),

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫x^2/√(x+2)dx,

    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)∫[x(x+2)-2*(x+2)+4]/√(x+2)dx,

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    =(1/2)x^2√(x+2)-(1/4)A+1/2∫√(x+2)dx-∫dx/√(x+2),

    即:(5/4)A=(1/2)x^2√(x+2)+1/2∫√(x+2)dx-2∫dx/2√(x+2),

    A=(2/5)x^2√(x+2)+2/5∫√(x+2)d(x+2)-8/5√(x+2),

    A=(2/5)x^2√(x+2)+4/15(x+2)^(3/2)-8/5*√(x+2)+C。

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  • 不定积分概念

  • 设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。

    其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

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    不定积分的计算

    求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

    不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。

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