Question

求x²sinx的三阶麦克劳林公式

Answer 1

三阶麦克劳林公式可以写成：

f(x)=f(0)+f'(0)·x+f''(0)·x²/2!+f'''(0)·x³/3!+o(x³)

由f(x)=x²·sinx可得：

f(0)=0

f'(x)=x²·(sinx)'+(x²)'·sinx

=x²·cosx+2x·sinx

则：f'(0)=0

f''(x)=x²·(cosx)'+(x²)'·cosx+2x·(sinx)'+(2x)'·sinx

=x²·(-sinx)+2x·cosx+2x·cosx+2sinx

=-x²·sinx+4x·cosx+2sinx

则：f''(0)=2sin0=0

f'''(x)=-x²·(sinx)'-(x²)'·sinx+4x·(cosx)'+(4x)'·cosx+2cosx

=-x²·cosx-2x·sinx+4x·(-sinx)+4cosx+2cosx

=-x²·cosx-6x·sinx+6cosx

则：f'''(0)=6cos0=6

将f(0)、f'(0)、f''(0)、f'''(0)均代入三阶麦克劳林公式，可得：

x²sinx=0+0+0+6x³/3!+o(x³)=x³+o(x³)