Question

已知函数f(x)的图像如图,设f’(x)是f(x)的导函数,则f’(xa)与f’(xb)

Answer 1

利用导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系即可得出．

解答 解：由函数的图象可知：函数f（x）单调递增，并且先快后慢，∴f′（x）＞0，f′（x）是减函数，
∴0＜f′（2）＜
f
（
2
）
−
f
（
1
）
2
−
1
=f（2）-f（1）＜f′（1），
故答案为：f′（2）＜f（2）-f（1）＜f′（1）．

点评 熟练掌握导数的几何意义及切线的斜率与割线的斜率的关系是解题的关键．

如果导函数的图像是连续曲线,那么导函数的图像位于x轴上方的自变量x的区间往往是原函数的单调增区间,导函数的图像位于x轴下方的自变量x的区间往往是原函数的单调减区间,导函数和x轴的交点（也叫零点）往往是极值点（注意：只有变号零点才是极值点,零点左右两侧导数值异号）
（2）如果原函数的图像连续,那么在原函数的单调递增区间内导函数图像位于x轴上方,在原函数的单调递减区间内导函数图像位于x轴下方,原函数的极值点处导函数值为零.

导数图像在x轴上方则原函数在该区间为增函数,并且如果在这种情况下导数在某区间内单调增则原函数在该区间上为凹函数,反之导数在某区间单调减则原函数在该区间为凸函数.导数图像在x轴下方则原函数在该区间为减函数,并且如果在这种情况下导数在某区间内单调增则原函数在该区间上为凸函数,反之导数在某区间单调减则原函数在该区间为凹函数.
单调性根据导数正负,即导数图像在x轴上方或下方判断,极值可能在不可导点取得,如果原函数处处可导,则导数的极值在导数的值由正变负或由负变正的那一点取得