Question

一阶导数与二阶导数的关系

Answer 1

二阶导函数即一阶导数的导数，可以判断出一阶导数的增减性，驻点二阶导数值>0→以驻点（一阶导数=0的点）为中心的邻域内，一阶导数单调递增，驻点的导数值=0→驻点两侧，一阶导数的值左-右+→驻点为原函数的极小值点。

（红色为原函数，黑色为导函数）

Answer 2

一阶导数是函数的变化率，而二阶导数，也就是对一阶导数进行的求导，它反映的是一阶导数的变化率。从函数的形态而言，一阶导数反映的是函数的变化率，而二阶导数反映的是函数的凹凸性。

从数学的角度而言，函数连续点上才有可能有一阶导数，但连续点不一定就肯定可导。同理，函数在某点有一阶导数，但不一定有二阶导数。

一阶导数和二阶导数的意义‌可以从数学原理和实际应用两个方面进行解释。‌

一阶导数的意义

‌一阶导数表示函数在某一点的变化率‌。具体来说，如果一阶导数大于0，表示函数在该区间内单调递增；如果一阶导数小于0，表示函数在该区间内单调递减；如果一阶导数等于0，表示函数在该点可能是极值点或拐点。一阶导数还可以用来判断函数的单调性，通过观察一阶导数的符号变化，可以确定函数的增减区间。

二阶导数的意义

‌二阶导数是一阶导数的导数‌，它表示一阶导数的变化率。从几何意义上讲，二阶导数反映的是函数图像的凹凸性。如果二阶导数大于0，表示函数图像在这段区间内是凹的；如果二阶导数小于0，表示函数图像在这段区间内是凸的。二阶导数还可以用来判断函数的极值点，当一阶导数等于0时，可以进一步通过二阶导数来判断该点是否是极值点。