Question

当a为何值时代数式x+a的绝对值加上x-+5的绝对值的最小值是三

Answer 1

解法①因为|x+a|+|x-5|≥|(x+a)-(x-5)|=|a+5|为最小值
由题意|a+5|=3，解得a=-2或a=-8
解法②设f(x)=|x+a|+|x-5|，

若-a<5，
则当x≤-a时，f(x)=-x-a-x+5=5-a-2x，单减，最小值在x=-a处,为5+a;
当-a<x<5时，f(x)=x+a-x+5=5+a;
当x≥5时，f(x)=x+a+x-5=2x+a-5，单增，最小值f(5)=5+a;
所以f(x)最小值为5+a,由题意，5+a=3, a=-2为所求.
若5<-a,
则当x≤5时，f(x)=-x-a-x+5=5-a-2x，单减，最小值f(5)=-5-a;
当5<x<-a时，f(x)=-x-a+x-5=-5-a;
当x≥-a时，f(x)=x+a+x-5=2x+a-5，单增，最小值f(-a)=-5-a;
f(x)最小值为-5-a,由题意，-5-a=3, a=-8为所求.
综上，a=-2或者a=-8为所求。