Question

怎样证明集合{0}可以构成向量空间? 急啊急.多谢.越具体越好

Answer 1

定义 设V为n维向量组成的集合．如果
1.V非空
2.且对于向量加法及数乘运算封闭,即对任意的α、β∈V和常数k都有α+β∈V ,kα∈V
就称集合V为一个向量空间
注释：
① 实向量指向量中的每一个分量均为实数,不特意说明,一般所谈向量均指实向量；
② 集合V对向量加法与数乘封闭,是指V中任意两个向量相加,其和向量仍然属于V；实数与y中向量相乘所得向量仍然属于V；
③ 此处的关键在于使向量线性相关、线性无关、线性表示等概念在集合V中得以运用,要求V中含有零向量.对V中任意向量含有它的负向量．
答案：
由向量空间定义的注释知道,判断一个向量集合是否可以构成向量空间,关键看是否非空,是否对加法与数乘封闭,是否含有零向量,对V中任意向量是否含有它的负向量．
(1)所有n维向量集合是指维数相同向量的集合．例如所有三维向量的集合R^3显然非空．三维向量加三维向量仍然为三维向量,数乘三维向量仍然为三维向量．即R^3对加法与数乘封闭．三维零向量属于R^3,其他运算律显然满足,三维向量的集合R^3是实数域R上的向量空间．同理任意n维向量集合又R^n是实数域R上的向量空间．
所以 n维向量的全体R^n构成一个向量空间．
特别地,三维向量可以用有向线段来表示,所以R^3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体．
或者所以 n维零向量所形成的集合{ 0 }构成一个向量空间