Question

3.设 F(x)=_0^x(sint)/tdt 则 F'(x)=？

Answer 1

嗨！感谢您的问题。我很高兴能够帮助您解决这个问题。

根据您提供的函数，我们需要使用微积分中的求导规则来求解F'(x)。让我们开始吧！

首先，我们将函数F(x)的积分形式写成极限形式，即：

F(x) = lim(n->∞) ∑(i=1 to n) [sin(t_i)/t_i] Δx

其中，t_i = iΔx，Δx = x/n。

接下来，我们将F(x+Δx)的积分形式也写成极限形式，即：

F(x+Δx) = lim(n->∞) ∑(i=1 to n) [sin(t_i')/t_i'] Δx

其中，t_i' = (iΔx + Δx)。

现在，我们可以使用微积分中的极限定义求F'(x)：

F'(x) = lim(Δx->0) [F(x+Δx) - F(x)]/Δx

将F(x)和F(x+Δx)代入上式，得到：

F'(x) = lim(Δx->0) ∑(i=1 to n) [(sin(t_i')/t_i') - (sin(t_i)/t_i)]/Δx

现在，我们可以将差分项进行展开和简化，得到：

F'(x) = lim(Δx->0) [sin(x+Δx)/x+Δx - sin(x)/x]/Δx

利用三角函数的和差公式，化简上式，得到：

F'(x) = lim(Δx->0) [(sin(x)cos(Δx) + cos(x)sin(Δx) - sin(x))/x+Δx]/Δx

进一步化简，得到：

F'(x) = lim(Δx->0) [cos(x) - (sin(x)/x)cos(Δx) + (cos(x)/x)sin(Δx)]/(1+Δx/x)

当Δx趋近于0时，上式右侧分母趋近于1，右侧分子趋近于cos(x)。因此，我们可以得出：

F'(x) = cos(x)

这就是您需要求解的答案。希望我的解答对您有所帮助！