Question

两道数学几何题（一道易，一道难，在线等）

1、如图，已知边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC上的一点，问题：添加一个条件，使得△ABP与以E、C、P为顶点的三角形相似，共有几种添加方法？

2、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：

探索：（1）观察实验结果，猜想∠BDA与∠CED的大小有何关系？并证明你的结论；
（2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图3供实验操作用，图4备用）

一定要过程，过程要全，谢谢大家了
第一题要证明。如果有两种方法，最好画图再配上证明。谢谢

Answer 1

一、∠B等于∠C=90° 所以只有两种方式

1° △ABP～△ECP: E是CD的中点

所以 BP/CP=CE/AB=1/2 即P在CB的三分之一处

2°△ABP~△PCE： ∠BAP=∠CPD

所以∠BPA+∠CPD=90° 即∠APD=90°

或者 设CE=a BP=b 所以 AB=2a CP=2a-b

由AB/CP=BP/CE 得 b(2a-b)=2a·a

再解方程得出ab关系

二、1、=

角C=角EDC=45

所以：角CED+角EDC=135 角EDC+角ADB=135

所以相等

2、角B=角C， 角CED=角ADB

所以△ABD~△DEC => CD/AB=CE/BD

(4√2-x)/4=(4-y)/x

得出：y=[(x-2√2)^2+8]/4

取值范围：0<x<4√2,0<[(x-2√2)^2+8]/4<4

即0<x<4√2

3、能

1°AE=DE 角EAD=角EDA=45°

所以AD是角CAB的角平分线，D就是BC的中点

2°AE=AD 则角DAE=90° 不可能

3°AD=DE 则CE/BD=DE/AD=1

即4-y/x=1 y=4-x

由一知，y=[(x-2√2)^2+8]/4

所以 4-x=[(x-2√2)^2+8]/4 得x=4√2-4

Answer 2

析解：（1）猜想∠BDA=∠CED．
证明：因为∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2．又因为AB=AC，∠BAC=90°，
所以∠B=∠C=45°．所以∠2+45°=45°+∠1．所以180°-∠2-45°=180°-∠1-45°．
即∠CED=∠BDA．
（则有CE/BD=DC/AB。即：(4-y)/x=(4√2-x)/4。

2）由（1）知：∠BDA=∠CED，又∠B=∠C，所以△ABD∽△DCE．

可得：y=x^2/4-√2x+4。

而0<y≤4，故可知：0<x^2/4-√2x+4≤4。

得：0<x≤4√2。
（3）假设能，分三种情况讨论：
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°．
此时点D与 B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在．
②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，．所以，
即．所以， (舍去)．即．
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°．又∠BAC=90°，所以∠1=45°，所以∠1=∠DAE．
所以．所以，当或时，△ADE能成为等腰三角形．

Answer 3

1、∵∠B=∠C=90° , ∴只有两种方式

①∵△ABP～△ECP ，E是CD的中点

∴ BP/CP=CE/AB=1/2 ， 即P在CB的三分之一处

②在△ABP～△PCE 中， ∠BAP=∠CPD

∴ ∠BPA+∠CPD=90° ， 即∠APD=90°

1、①∠BDA=∠CED

∵∠C=∠EDC=45°

∴∠CED+∠EDC=135 °
∠ EDC+∠ADB=135°
即：∠BDA=∠CED

2、∵∠B=∠C ，∠ CED=∠ADB

∴△ABD～△DEC
∴ CD/AB=CE/BD

则： (4√2-x)/4=(4-y)/x

y=[(x-2√2)^2+8]/4

即：自变量x的取值范围为 0<x<4√2

3、△ADE能等腰三角形
① ∵ AE=DE ∠EAD=∠EDA=45°

∴AD是角CAB的角平分线
D就是BC的中点

② ∵AE=AD ∴∠DAE=90°
则、△ADE不可能等腰三角形

③ ∵AD=DE ∴CE/BD=DE/AD=1

即 4-y/x=1
y=4-x

由一得：y=[(x-2√2)^2+8]/4
4-x=[(x-2√2)^2+8]/4
即 x=4√2-4

Answer 4

1题：答案（1）BP:PC=2:1（2）AB:PC=BP:EC（3）角BAP=角CPE（4）角BAP=角PEC
2题：（1）角BDA=角CED。证明：因为角BAC=90度，且AB=AC=4。所以角B=角C=45度。因为角ADC是三角形ABD的外角，且角ADE=45度。所以角B+角1=角ADC=角ADE+角2，即45度+角1=45度+角2,所以角1=角2。因为角BDA=180度-角1-角B，角CED=180度-角C-角2。因为角1=角2，角B=角C，所以角BDA=角CED
（2）