Question

如何证明线性无关

Answer 1

证明：设p[1],...,p[n]是正交向量组。
假设p[1],...,p[n]线性相关，则存在不全为0的实数k[1],...,k[n]使
k[1]p[1]+...+k[n]p[n]=0。
对任意i=1,...,n，等式两边同乘以p[i]^T，有
k[1]p[i]^Tp[1]+...+k[n]p[i]^Tp[n]=0。
由正交向量组的定义，当j≠i时，p[i]^Tp[j]=0，且p[i]^Tp[i]>0，因此
k[i]p[i]^Tp[i]=0，即k[i]=0。
注意以上推导对任意i=1,...,n都成立，因此
k[1]=...=k[n]=0，
这与k[1],...,k[n]不全为0矛盾！
所以p[1],...,p[n]线性无关。