Question

4.求由曲线y=x²,y=6-x,y=0所围成的平面图形绕x轴、y轴旋转的旋转体的体积.

Answer 1

解题过程如下图所示：

Answer 2

首先，我们需要画出由曲线y=x²,y=6-x,y=0所围成的平面图形

我们可以发现，该图形与x轴的交点为0和6，因此我们可以用定积分来求旋转体的体积。

• 绕x轴旋转

我们可以将该图形绕x轴旋转得到一个圆锥体和一个半球体的组合体。因为圆锥体和半球体的半径都是6，所以它们的体积分别为：

圆锥体的体积：$\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{1}{3}\pi \cdot 6^2 \cdot 6=72\pi$

半球体的体积：$\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3=288\pi$

所以旋转体的体积为：$V=72\pi+288\pi=360\pi$

• 绕y轴旋转

我们可以将该图形绕y轴旋转得到一个圆盘和一个圆柱的组合体。圆盘的半径为6-x，高度为x²，圆柱的半径为6-x，高度为6-x。因此圆盘的体积为：

$\int_{0}^{6}\pi(6-x)^2x^2dx=\frac{\pi}{15}(6^5-2\cdot6^6+3\cdot6^4)=312\pi$

圆柱的体积为：

$\int_{0}^{6}\pi(6-x)^2(6-x)dx=32\pi$

所以旋转体的体积为：$V=312\pi+32\pi=344\pi$

因此，由曲线y=x²,y=6-x,y=0所围成的平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积为360π，绕y轴旋转的旋转体的体积为344π。