Question

证明，若函数y=f(x)(-∞＜x＜∞)的图形关于点A(a，y0)与直线x=b(b≠a)成对称，则函数f(x)是周期函数

Answer 1

【答案】：由问题中的条件推出
f(a-x)+f(a+x)=2y₀；f(b-t)=f(b+t)
假定b-t=a-x，得
f(a-x)=f(2b-a+x)
此等式连同第一个等式给出条件
f(2b-a+x)+f(a+x)=2y₀
其中把a+x用x代替，得
f(2b-2a+x)=-f(x)+2y₀
再者，当把x用2b-2a+x代替，得
f(4b-4a+x)=-f(2b-2a+x)+2y₀=-(-f(x)+2y₀)+2y₀=f(x)
这就证明了函数f(x)的周期性，并且周期等于4b-4a